定积分

一、背景

例 1 求面积

S=limλ0i=1nf(ζi)ΔXi S = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nf(\zeta_i)\Delta{X_i}

例 2 求路程

S=limλ0i=1nV(ζi)Δti S = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nV(\zeta_i)\Delta{t_i}

二、定义

abf(x)dxlimλ0i=1nf(ζi)ΔXi \int_a^bf(x)dx\triangleq\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nf(\zeta_i)\Delta{X_i}

Notes:

  1. limλ0i=1nf(ζi)ΔXi\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nf(\zeta_i)\Delta{X_i}与区间分法、ζ\zeta取值无关。
  2. λ0n,λ0n\lambda \to 0 \Rightarrow n \to \infin,\lambda \to 0 \nLeftarrow n \to \infin
  3. f(x)f(x)[0,1][0,1]上可积:limn1ni=1nf(in)=01f(x)dx\lim_{n \to \infin}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(\frac{i}{n})=\int_0^1f(x)dx 🔥

(一) 型 n 次项和极限(分子齐、分母齐)

三、基本性质

  1. 加减
  2. 常数
  3. 分段
  4. 上限减下限
  5. f(x)f(x)
    1. f(x)0(axb)abf(x)dx0f(x)\geqslant 0(a\leqslant x\leqslant b)\Rightarrow\int_a^bf(x)dx\geqslant 0
    2. f(x)g(x)(axb)abf(x)dxg(x)f(x)\geqslant g(x)(a\leqslant x\leqslant b)\Rightarrow\int_a^bf(x)dx\geqslant g(x) 🔥
    3. abf(x)dxabf(x)dx|\int_a^bf(x)dx|\leqslant\int_a^b|f(x)|dx 🔥
    4. (积分中值定理) f(x)c[a,b],ζ[a,b],abf(x)dx=f(ζ)(ba)f(x)\in{c[a,b]},\exist\zeta\in{[a,b]},\int_a^bf(x)dx=f(\zeta)(b-a) 🔥

Notes:

  1. aaf(x)dx=0\int_a^af(x)dx=0
  2. abf(x)dx=baf(x)dx\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx

四、积分基本定理

  1. f(x)c[a,b],Φ(x)=axf(t)dt,Φ(x)=f(x)f(x)\in{c[a,b]},\Phi(x)=\int_a^xf(t)dt,\Phi'(x)=f(x)(由积分中值定理证明)
  2. (N.-L.)abf(x)dx=F(b)F(a)\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)(由 1 证明)

五、特殊性质

  1. aaf(x)dx=0a[f(x)+f(x)]dx\int_{-a}^af(x)dx=\int_0^a[f(x)+f(-x)]dx
    1. f(x)=f(x),aaf(x)dx=20af(x)dxf(-x)=f(x),\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx
    2. f(x)=f(x),aaf(x)dx=0f(-x)=-f(x),\int_{-a}^af(x)dx=0
  2. 三角函数
    1. 0π2f(sinx)dx=0π2f(cosx)dx\int_{0}^\frac{\pi}{2}f(sin{x})dx=\int_{0}^\frac{\pi}{2}f(cos{x})dx
      1. In=0π2sinnxdx=0π2cosnxdxI_n=\int_{0}^\frac{\pi}{2}sin^n{x}dx=\int_{0}^\frac{\pi}{2}cos^n{x}dx
        1. In=n1nIn2I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}
        2. I0=π2I_0=\frac{\pi}{2}
        3. I1=1I_1=1
    2. 0πf(sinx)dx=20π2f(sinx)dx\int_{0}^{\pi}f(sin{x})dx=2\int_{0}^\frac{\pi}{2}f(sin{x})dx
  3. f(x)f(x)连续,以TT为周期。
    1. aa+Tf(x)dx=0Tf(x)dx\int_{a}^{a+T}f(x)dx=\int_0^Tf(x)dx
    2. 0nTf(x)dx=n0Tf(x)dx\int_{0}^{nT}f(x)dx=n\int_0^Tf(x)dx

六、广义积分(反常积分)

正常积分:

  1. 积分区间有限
  2. f(x)f(x)[a,b][a,b]上连续或有限个第一类间断点

(一) 区间无限

  1. f(x)c[a,+)f(x)\in c[a,+\infin)
    1. 定义
    2. 判别法limx+xαf(x)=k(0)\lim_{x \to +\infin}x^{\alpha}f(x)=k(\not ={0})
      1. 收敛α>1\alpha>1
      2. 发散α1\alpha\leqslant1
  2. f(x)c(,a]f(x)\in c(-\infin,a]
    1. 定义
    2. 判别法limxxαf(x)=k(0)\lim_{x \to -\infin}x^{\alpha}f(x)=k(\not ={0})
      1. 收敛α>1\alpha>1
      2. 发散α1\alpha\leqslant1
  3. f(x)c(,+)f(x)\in c(-\infin,+\infin)

Note: Γ\Gamma函数 🔥

  • 定义
    • 0+xα1exdxΓ(α)\int_{0}^{+\infin}x^{\alpha-1}e^{-x}dx\triangleq\Gamma(\alpha)
  • 性质
    • Γ(α+1)=αΓ(α)\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)
    • Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1)=n!
    • Γ(12)=π\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}

(二) 区间有限

  1. f(x)c(a,b],f(a+0)=f(x)\in c(a,b],f(a+0)=\infin
    1. 定义
    2. 判别法limxa+(xa)αf(x)=k(0)\lim_{x \to a^+}(x-a)^{\alpha}f(x)=k(\not ={0})
      1. 收敛α<1\alpha<1
      2. 发散α1\alpha\geqslant1
  2. f(x)c[a,b),f(b0)=f(x)\in c[a,b),f(b-0)=\infin
    1. 定义
    2. 判别法limxb(bx)αf(x)=k(0)\lim_{x \to b^-}(b-x)^{\alpha}f(x)=k(\not ={0})
      1. 收敛α<1\alpha<1
      2. 发散α1\alpha\geqslant1
  3. f(x)c[a,c)(c,b],limxcf(x)=f(x)\in c[a,c)\cup(c,b],\lim_{x \to c}f(x)=\infin

六、几何应用

(一) 面积

  1. 曲边梯形
  2. 曲边三角形
  3. 曲边绕xx轴旋转一周的面积

(二) 体积

  1. 曲边绕xx轴旋转一周的体积
  2. 曲边梯形yy轴旋转一周的体积

七、型

(一) 计算

  1. Case 1. 变积分限函数的积分(分部积分)
  2. Case 3. 对称法
  3. Case 4. 常规计算
    1. 记:f(x)=ln(x+1+x2)f(x)=\ln(x+\sqrt{1+x^2})奇函数(可推导)

(二) 证明

  1. Case 1. f(x)f(x)连续
    1. 结合微分
  2. Case 2. 连续 + 单调(重点是单调如何处理)🔥
    1. 单调法
  3. Case 3. f(x)f(x)可导 🔥
    1. LagrangeLagrangeNLN-L
      1. f(x)f(a)=f(ζ)(xa)f(x)-f(a)=f'(\zeta)(x-a)(积分中无ff')
      2. f(x)f(a)=axf(t)dtf(x)-f(a)=\int_a^x{f'(t)}dt(积分中有ff')
    2. ||,()2()^2,无||()2()^2
      1. :abfdx<=abfdx||:|\int_a^b{f}dx|<=\int_a^b{|f|}dx
      2. ()2:(abfgdx)2<=abf2dxabg2dx()^2:(\int_a^b{fg}dx)^2<=\int_a^b{f^2}dx\int_a^b{g^2}dx
      3. ||()2()^2:两边积分