极限与连续

Part 1 极限

一、定义

(一) 极限

  1. 任意性
  2. 无限性
1. 数列极限
  1. 分左右
  2. x 与 a 无关
  3. 去心邻域
2. 函数极限
  1. 左右存在且相等
  2. a?xba^\frac{?}{x-b}a?bxa^\frac{?}{b-x}xbx \to b时分左右

Case 3. x,+,x \to \infin,+\infin,-\infin

(二) 无穷小

极限为 0 的函数

Case 1. limβα=0\lim\frac{\beta}{\alpha}=0

高阶无穷小

Case 2. limβα=k\lim\frac{\beta}{\alpha}=k

同阶无穷小

Case 3. limβα=1\lim\frac{\beta}{\alpha}=1

等价无穷小

二、性质

(一) 一般性质

1. 唯一性
2. 保号性 🔥

极限正(负),则去心邻域正(负)。

(二) 存在性质

1. 夹逼定理

型一 n 次和极限 🔥

Case 1. 分子或分母次数不齐

夹逼定理

Case 2. 分子或分母次数齐

定积分定义

2. 单调有界的数列必有极限
  1. 有界:有上、下界
  2. 单调递增、单调递减

型二 极限存在证明 🔥

  1. 数学归纳法
  2. 相邻两项相减

(三) 无穷小性质

1. 一般性质
2. 等价性质

三、两个重要极限

型三 不定型 🔥🔥🔥

  1. 00\frac{0}{0}, 11^\infin🔥
  2. \frac{\infin}{\infin}, 0×0\times\infin, \infin-\infin, 0\infin^0, 000^0

Case 1. 00\frac{0}{0}

  1. 等价无穷小
  2. 洛必达法则
  3. 麦克劳林公式

Case 2. 11^\infin

  1. 恒等变形

Case 3. \frac{\infin}{\infin}

  1. 洛必达法则
  2. 转换为确定型
  3. 多项式相除

Case 4. \infin-\infin

  1. 有分母通分
  2. 无分母转换

Part 2 连续与间断

一、定义

(一) 连续

极限值等于函数值

1. 一点连续
  1. 三个相等
2. 闭区间连续
  1. 两个相等

(二) 间断 🔥

极限值不等于函数值

1. 第一类间断点
  1. 左极限等于右极限:可去间断点
  2. 左极限不等于右极限:跳跃间断点
2. 第二类间断点

左极限和右极限至少一个不存在(\infin)

型一 间断点及分类

二、性质

(一) 最值

(二) 有界

(三) 零点定理(开区间)

(四) 介值定理(闭区间)