微分方程

Part 1 一阶微分方程

一、可分离变量的微分方程

定义

dydx=f(x,y) \frac{dy}{dx}=f(x,y)

解法

dyψ1(y)=ψ1(x)dx+C \int{\frac{dy}{\psi_1(y)}}=\int{\psi_1(x)dx}+C

二、齐次微分方程

定义

f(x,y)=ψ(yx) f(x,y)=\psi(\frac{y}{x})

解法

u+xdudx=ψ(u) u+x\frac{du}{dx}=\psi(u)

三、一阶齐次线性微分方程

定义

dydx+p(x)y=0 \frac{dy}{dx}+p(x)y=0

解法

y=Cep(x)dx y=Ce^{-\int{p(x)}dx}

四、一阶非齐线性微分方程

定义

dydx+p(x)y=Q(x) \frac{dy}{dx}+p(x)y=Q(x)

解法

[Q(x)ep(x)dxdx+C]ep(x)dx [\int{Q(x)e^{\int{p(x)}dx}}dx+C]e^{-\int{p(x)dx}}

Part 2 可降阶的高阶微分方程

Part 3 高阶线性微分方程

一、定义

  1. nn 阶齐次线性微分方程
  2. nn 阶非齐线性微分方程

二、结构

三、特例

(一)二阶常系数齐次线性微分方程

  1. λ2+pλ+q=0\lambda^2+p\lambda+q=0
  2. Δ\Delta
    1. Δ>0,y=C1eλ1x+C2eλ2x\Delta>0,y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}
    2. Δ=0,y=(C1+C2x)eλ1x\Delta=0,y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_1x}
    3. Δ<0,y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)\Delta<0,y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)

(二)二阶常系数非齐线性微分方程