不定积分

一、定义

(一) 原函数

F(x)=f(x) F'(x)=f(x)

Notes:

  1. f(x)f(x)有原函数,则一定有无数个原函数。
  2. 任意两个原函数相差常数。

(二) 不定积分

f(x)dx=F(x)+C \int f(x)dx=F(x)+C

Notes:

  1. ddxf(x)dx=f(x)\frac{d}{dx}\int f(x)dx=f(x)
  2. f(x)dx=f(x)+C\int f'(x)dx=f(x)+C

二、不定积分工具

(一) 基本公式

1. 常数

  1. kdx=kx+C\int{kdx}=kx+C

2. 幂函数

  1. xadx={1a+1xa+1+C,a1lnx+C,a=1\int{x^adx}= \begin{cases} \frac{1}{a+1}x^{a+1}+C,a\not =-1 \\ \ln{|x|}+C,a=-1 \end{cases}

3. 指数函数

  1. axdx={axlna+C,aeex+C,a=e\int{a^xdx}= \begin{cases} \frac{a^x}{\ln{a}}+C,a\not =e \\ e^x+C,a=e \end{cases}

4. 三角函数

  1. sinxdx=cosx+C\int{\sin{x}dx}=-\cos{x}+C
  2. cosxdx=sinx+C\int{\cos{x}dx}=\sin{x}+C
  3. tanxdx=lncosx+C\int{\tan{x}dx}=-\ln{|\cos{x}|}+C(由 2.1 推导)
  4. cotxdx=lnsinx+C\int{\cot{x}dx}=\ln{|\sin{x}|}+C(由 2.1 推导)
  5. secxdx=lnsecx+tanx+C\int{\sec{x}dx}=\ln{|\sec{x}+\tan{x}|}+C
  6. cscxdx=lncscxcotx+C\int{\csc{x}dx}=\ln{|\csc{x} - \cot{x}|}+C
  7. sec2xdx=tanx+C\int{\sec^2{x}dx}=\tan{x}+C
  8. csc2xdx=cotx+C\int{\csc^2{x}dx}=-\cot{x}+C
  9. secxtanxdx=secx+C\int{\sec{x}\tan{x}dx}=\sec{x}+C
  10. cscxcotxdx=cscx+C\int{\csc{x}\cot{x}dx}=-\csc{x}+C

5. 平方和平方差

  1. 11x2dx=arcsinx+C\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx}=\arcsin{x}+C
  2. 1a2x2dx=arcsinxa+C\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx}=\arcsin{\frac{x}{a}}+C(由 5.1 推导)
  3. 11+x2dx=arctanx+C\int{\frac{1}{1+x^2}dx}=\arctan{x}+C
  4. 1a2+x2dx=1aarctanxa+C\int{\frac{1}{a^2+x^2}dx}=\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+C(由 5.3 推导)
  5. 1x2+a2dx=ln(x+x2+a2)+C\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx}=\ln{(x+\sqrt{x^2+a^2})}+C(由第二类换元积分法 Case 2.2 推导)
  6. 1x2a2dx=lnx+x2a2+C\int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}=\ln{|x+\sqrt{x^2-a^2}|}+C(由第二类换元积分法 Case 2.3 推导)
  7. 1x2a2dx=12alnxax+a+C\int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}=\frac{1}{2a}\ln{|\frac{x-a}{x+a}|+C}(有因式分解拆项推导)
  8. a2x2dx=a22arcsinxa+x2a2x2+C\int{\sqrt{a^2-x^2}dx}=\frac{a^2}{2}\arcsin{\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C}

(二) 积分法

1. 换元积分法

第一类

f[ψ(x)]ψ(x)dx=f[ψ(x)]dψ(x)=ψ(x)=tf(t)dt=F(t)+C=F[ψ(x)]+C \int{f[\psi(x)]*\psi'(x)dx}=\int{f[\psi(x)]*d\psi(x)}\xlongequal{\psi(x)=t}\int{f(t)dt}=F(t)+C=F[\psi(x)]+C

第二类

Case 1. 无理转换有理(不一定)

Case 2. 平方和平方差

预备知识

  1. sec2xtan2x=1\sec^2{x}-\tan^2{x}=1
  2. sin2x+cos2x=1\sin^2{x}+\cos^2{x}=1
  3. sinx=1cscx\sin{x}=\frac{1}{\csc{x}}
  4. cosx=1secx\cos{x}=\frac{1}{\sec{x}}
  5. tanx=1cotx\tan{x}=\frac{1}{\cot{x}}

三角换元

  1. a2x2=x=asintacost\sqrt{a^2-x^2}\xlongequal{x=a\sin{t}}a\cos{t}
  2. x2+a2=x=atantasect\sqrt{x^2+a^2}\xlongequal{x=a\tan{t}}a\sec{t}
  3. x2a2=x=asectatant\sqrt{x^2-a^2}\xlongequal{x=a\sec{t}}a\tan{t}

2. 分部积分法

(uv)=uv+uv(uv)'=u'v+uv'

uvdx=uvuvdx\int{u'v}dx=uv-\int{uv'}dx

vdu=uvudv\int{v}du=uv-\int{u}dv

  1. xa{exlnxtrigonometricantitrigonometricdx\int{x^a}* \begin{cases} e^x \\ \ln{x} \\ trigonometric \\ antitrigonometric \end{cases}dx
  2. eax{sinbxcosbxdx\int{e^{ax}}* \begin{cases} \sin{bx} \\ \cos{bx} \end{cases}dx
  3. $ dx$(n 奇数)

三、有理函数不定积分

R(x)=P(x)Q(x) R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}

P(x),Q(x): polynomial

分类: {degPdegQ,R(x)improperfractiondegP<degQ,R(x)properfractiondx\begin{cases} degP \geqslant degQ,R(x) improper fraction\\ degP \lt degQ,R(x) proper fraction \end{cases}dx

(一) 假分式

R(x)=polynomial+properfractionR(x)=polynomial+proper fraction

(二) 真分式

R(x)R(x) \Rightarrow部分和