矩阵

一、定义

(一) 矩阵 - A(m*n)

  1. 零阵
  2. 方阵

(二) 同型矩阵与矩阵相同

(三) 三则运算

  1. 加减(同型)
  2. KAKA
  3. AmnBns=CmsA_{m*n}B_{n*s}=C_{m*s} 🔥

Notes:

  1. A0B0AB0A\not ={0}B\not ={0} \nRightarrow AB\not ={0}
    1. A0Ak0A\not ={0}\nRightarrow A^k\not ={0}
  2. ABBAAB\not ={BA}
  3. f(A)f(A) 为多项式可因式分解
  4. * / **
    1. AX=0AX=0 *
    2. AX=bAX=b **

(四) 伴随矩阵

  1. AA 是方阵
  2. AA^*AA 的伴随矩阵
  3. AA=AA=AEA*A^*=A^**A=|A|E 🔥

二、理论

(一) 逆阵理论

  1. 何为逆阵?
  2. 逆阵存在否?
  3. 逆阵如何求?

1. 定义

BA=EBA=EAB=EAB=EB=A1B=A^{-1}

2. 存在性定理

Notes:

  1. 1
    1. AT=A|A^T|=|A|
    2. KA=knA|KA|=k^n|A|
    3. AB=AB|AB|=|A|*|B| - Laplace 法则
  2. 2
    1. (A1)1=A(A^{-1})^{-1}=A
    2. (kA)1=1kA1(k0)(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}(k\not ={0})
    3. (AB)1=B1A1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
    4. (AB)1=(A1B1)\begin{pmatrix} A & \\ & B \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} A^{-1} & \\ & B^{-1} \end{pmatrix}

定理:AnnA_{n*n}, AA 可逆 A0\Leftrightarrow |A|\not ={0} 🔥

证明(Laplace 法则,伴随矩阵)

Note

  1. AA 可逆 A=AA1A^*=|A|A^{-1}

3. 求法

  1. 伴随矩阵法
  2. 初等变换法
    1. 方程组同解变形
      1. 对调两个方程
      2. 方程两边乘以 k0k\not ={0}
      3. 某方程 k 倍加到另一个方程
    2. 矩阵三种初等行变换
      1. 对调两行
      2. 某行乘以 k0k\not ={0}
      3. 某行 k 倍加到另一行
    3. 三个初等矩阵
      1. E(i,j)E(i,j)
      2. E(i,c)E(i,c)
      3. E(ij(k))E(ij(k))
    4. 三个问题
    5. A1A^{-1} 求法

(二) 秩理论

1. 定义

2. r(A) 求法

3. 性质 🔥

  1. r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)r(A)=r(A^T)=r(A^TA)=r(AA^T)
  2. r(A+B)r(A+B)
    1. r(A+B)r(A)+r(B)r(A+B)\leqslant r(A)+r(B)
    2. r(AB)r(A)+r(B)r(A-B)\leqslant r(A)+r(B)
  3. Am×n,Bn×sA_{m×n},B_{n×s}
    1. r(AB)r(A)r(AB)\leqslant r(A)
    2. r(AB)r(B)r(AB)\leqslant r(B)
  4. Am×n,Bn×s,AB=0A_{m×n},B_{n×s},AB=0
    1. r(A+B)nr(A+B)\leqslant n
  5. P、Q 可逆
    1. r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)
  6. r(A)r(A^*)
    1. n
    2. 1
    3. 0