一元微分学的应用

中值定理

一、预备知识

1. 极值点

  1. 极大点
  2. 极小点

2. f(a)f'(a)

  1. f(a)>0f'(a)>0
  2. f(a)<0f'(a)<0
  3. f(a)=0f'(a)=0
  4. f(a)f'(a)不存在

x=ax=a为极值点,f(a)=0f'(a)=0或不存在 f(x)f(x)可导且x=ax=a为极值点,f(a)=0f'(a)=0

二、中值定理

1. RolleRolle

  1. f(x)c[a,b]f(x)\in c[a,b]
  2. f(x)f(x)(a,b)(a,b)可导
  3. f(a)=f(b)f(a)=f(b)

ζc(a,b),f(ζ)=0\exist\zeta\in c(a,b),f'(\zeta)=0

证明
  1. 最值
  2. m=Mm=M
  3. m<Mm<M

2. LagrangeLagrange

  1. f(x)c[a,b]f(x)\in c[a,b]
  2. f(x)f(x)(a,b)(a,b)可导

ζc(a,b),f(ζ)=f(b)f(a)ba\exist\zeta\in c(a,b),f'(\zeta)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

证明
  1. 构建ψ(x)=LLAB\psi(x)=L-L_{AB}
  2. RolleRolle
注解
  1. 等价形式
  2. f(a)=f(b),LagrangeRollef(a)=f(b), Lagrange \Rightarrow Rolle
  3. f(x)f(x)可导
    1. f(b)f(a):Lf(b)-f(a):L
    2. f(a),f(b),f(c):2Lf(a),f(b),f(c):2L

3. Cauchy

  1. f(x),g(x)c[a,b]f(x),g(x)\in c[a,b]
  2. (a,b)(a,b)可导
  3. g(x)0(a<x<b)g'(x)\not ={0}(a<x<b)

ζc(a,b),f(b)f(a)g(b)g(a)=f(ζ)g(ζ)\exist\zeta\in c(a,b),\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\zeta)}{g'(\zeta)}

注解
  1. g(x)0(a<x<b)g(ζ)0,g(b)g(a)0g'(x)\not ={0}(a<x<b) \Rightarrow g'(\zeta) \not ={0}, g(b)-g(a) \not ={0}(防止分母为 0)
  2. g(a)=0g'(a) = 0g(b)=0g'(b) = 0 不影响 Cauchy
  3. If g(x)=x,CauchyLagrangeg(x) = x, Cauchy \Rightarrow Lagrange
证明
  1. 构建ψ(x)\psi(x)
  2. RolleRolle

型一 f(n)(ζ)=0(Rolle)f^{(n)}(\zeta) = 0 (Rolle)

  1. 零点定理 + RolleRolle
  2. 界值定理 + RolleRolle
  3. 多次 RolleRolle

型二 仅有ζ\zetaa,ba,b

还原法
  1. 构建ψ(x)\psi(x)
    1. [lnf(x)]+[lneg(x)]=0[lnf(x)]' + [lne^{g(x)}]' = 0
    2. ψ(x)=f(x)eg(x)\psi(x) = f(x)e^{g(x)}
  2. RolleRolle
  3. 代入ψ(x)\psi'(x)
分组法
  1. 先分组再还原
  2. RolleRolle
  3. 代入ψ(x)\psi'(x)

型三 有ζ\zeta,有a,ba,b

  1. ζ\zetaa,ba,b可分
    1. LagrangeLagrangeCauchyCauchy
  2. ζ\zetaa,ba,b不可分
    1. 去分母移项
    2. 还原构建ψ(x)\psi(x)
    3. RolleRolle

型四 有ζ,η\zeta,\eta

  1. 仅有f(ζ),f(η)f'(\zeta),f'(\eta)
    1. 找三点
    2. 2L
  2. ζ,η\zeta,\eta复杂度不同
    1. 留复杂
    2. ()Lagrange()'Lagrange
    3. ()()Cauchy\frac{()'}{()'}Cauchy

型五 LagrangeLagrange的常规证明

  1. f(b)f(a):Lf(b)-f(a):L
  2. f(a),f(b),f(c):2Lf(a),f(b),f(c):2L

极值 ☆

一、定义

极值点

  1. 极小点 - 极小值
  2. 极大点 - 极大值

二、求极值步骤

  1. xDx \in D
  2. f(x)f'(x)
    1. =0= 0(驻点)
    2. 不存在
  3. 判别法
    1. 一阶法
    2. 二阶法

型一 极值点判断

型二 方程解或函数零点

  1. 零点定理
  2. RolleRolle
  3. 单调法 ☆
    1. y=f(x)(xD)y = f(x)(x \in D)
    2. f(x)f'(x)找极值
    3. 关注两侧作草图
      1. M<0M < 0 无解
      2. M=0M = 0 一个解
      3. M>0M > 0 三种情况 注:x+,ax>xa>lnxx \to + \infin, a^{x} > x^{a} > lnx

型三 不等式证明

  1. 单调法

几个小问题

一、凹凸性

(一)定义

  1. 凹函数
  2. 凸函数

(二)判别法

  1. f>0f'' > 0:凹函数
  2. f<0f'' < 0:凸函数

注解

  1. x0x_0两侧凹凸性不同:拐点

二、渐近线 (10')

  1. 水平渐近线
    1. xx \to \infin
  2. 铅直渐近线
    1. limxaf(x)=\lim_{x \to a}f(x) = \infin
    2. f(a0)=f(a-0) = \infin
    3. f(a+0)=f(a+0) = \infin
  3. 斜渐近线

三、弧微分

  1. L: y=f(x),ds=1+f(x)2dxy = f(x), ds=\sqrt{1 + f'(x)^2}dx
  2. L: {x=ψ(t)y=ψ(t),ψ(t)2+ψ(t)2dt\begin{cases} x = \psi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}, \sqrt{\psi'(t)^2 + \psi'(t)^2}dt

四、TaylorTaylor中值定理

  1. x=x0x = x_0 领域
  2. n+1n + 1 阶可导

f(x)=Pn(x)+Rn(x)f(x) = P_n(x) + R_n(x)

Pn(x)P_n(x) 多项式 Rn(x)R_n(x) 余项 LagrangeLagrange型或皮亚洛型

麦克劳林公式

记 ☆

型一 极限

  1. 麦克劳林
  2. 洛必达法则(附)