一元微分学的应用

一、中值定理

(一) 预备知识

1. 极值点

  1. 极大点
  2. 极小点

2. f'(a)

  1. f(a)>0f'(a)>0
  2. f(a)<0f'(a)<0
  3. f(a)=0f'(a)=0
  4. f(a)f'(a)不存在

x=ax=a为极值点,f(a)=0f'(a)=0或不存在 f(x)f(x)可导且x=ax=a为极值点,f(a)=0f'(a)=0

(二) 中值定理

1. Rolle

  1. f(x)c[a,b]f(x)\in c[a,b]
  2. f(x)f(x)(a,b)(a,b)可导
  3. f(a)=f(b)f(a)=f(b)

ζc(a,b),f(ζ)=0\exist\zeta\in c(a,b),f'(\zeta)=0

证明
  1. 最值
  2. m=Mm=M
  3. m<Mm<M

2. Lagrange 🔥

  1. f(x)c[a,b]f(x)\in c[a,b]
  2. f(x)f(x)(a,b)(a,b)可导

ζc(a,b),f(ζ)=f(b)f(a)ba\exist\zeta\in c(a,b),f'(\zeta)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

证明
  1. 构建ψ(x)=LLAB\psi(x)=L-L_{AB}
  2. RolleRolle
注解
  1. 等价形式
  2. f(a)=f(b),LagrangeRollef(a)=f(b), Lagrange \Rightarrow Rolle
  3. f(x)f(x)可导
    1. f(b)f(a):Lf(b)-f(a):L
    2. f(a),f(b),f(c):2Lf(a),f(b),f(c):2L

3. Cauchy

  1. f(x),g(x)c[a,b]f(x),g(x)\in c[a,b]
  2. (a,b)(a,b)可导
  3. g(x)0(a<x<b)g'(x)\not ={0}(a<x<b)

ζc(a,b),f(b)f(a)g(b)g(a)=f(ζ)g(ζ)\exist\zeta\in c(a,b),\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\zeta)}{g'(\zeta)}

注解
  1. g(x)0(a<x<b)g(ζ)0,g(b)g(a)0g'(x)\not ={0}(a<x<b) \Rightarrow g'(\zeta) \not ={0}, g(b)-g(a) \not ={0}(防止分母为 0)
  2. g(a)=0g'(a) = 0g(b)=0g'(b) = 0 不影响 Cauchy
  3. If g(x)=x,CauchyLagrangeg(x) = x, Cauchy \Rightarrow Lagrange
证明
  1. 构建ψ(x)\psi(x)
  2. RolleRolle

(三) 型

1. f⁽ⁿ⁾(𝛇)=0 (Rolle)

  1. 零点定理 + RolleRolle
  2. 界值定理 + RolleRolle
  3. 多次 RolleRolle

2. 仅有 𝛇 无 a,b

还原法
  1. 构建ψ(x)\psi(x)
    1. [lnf(x)]+[lneg(x)]=0[lnf(x)]' + [lne^{g(x)}]' = 0
    2. ψ(x)=f(x)eg(x)\psi(x) = f(x)e^{g(x)}
  2. RolleRolle
  3. 代入ψ(x)\psi'(x)
分组法
  1. 先分组再还原
  2. RolleRolle
  3. 代入ψ(x)\psi'(x)

3. 有 𝛇 有 a,b

  1. ζ\zetaa,ba,b可分
    1. LagrangeLagrangeCauchyCauchy
  2. ζ\zetaa,ba,b不可分
    1. 去分母移项
    2. 还原构建ψ(x)\psi(x)
    3. RolleRolle

4. 有 𝛇,η

  1. 仅有f(ζ),f(η)f'(\zeta),f'(\eta)
    1. 找三点
    2. 2L
  2. ζ,η\zeta,\eta复杂度不同
    1. 留复杂
    2. ()Lagrange()'Lagrange
    3. ()()Cauchy\frac{()'}{()'}Cauchy

5. Lagrange 的常规证明

  1. f(b)f(a):Lf(b)-f(a):L
  2. f(a),f(b),f(c):2Lf(a),f(b),f(c):2L

二、极值 🔥

(一) 定义

  1. 极小点 - 极小值
  2. 极大点 - 极大值

(二) 求极值步骤

  1. xDx \in D
  2. f(x)f'(x)
    1. =0= 0(驻点)
    2. 不存在
  3. 判别法
    1. 一阶法
    2. 二阶法

(三) 型

1. 极值点判断

2. 方程解或函数零点

  1. 零点定理
  2. RolleRolle
  3. 单调法 🔥
    1. y=f(x)(xD)y = f(x)(x \in D)
    2. f(x)f'(x)找极值
    3. 关注两侧作草图
      1. M<0M < 0 无解
      2. M=0M = 0 一个解
      3. M>0M > 0 三种情况 注:x+,ax>xa>lnxx \to + \infin, a^{x} > x^{a} > lnx

3. 不等式证明

  1. 单调法

三、几个小问题

(一) 凹凸性

1. 定义

  1. 凹函数
  2. 凸函数

2. 判别法

  1. f>0f'' > 0:凹函数
  2. f<0f'' < 0:凸函数

注解

  1. x0x_0两侧凹凸性不同:拐点

(二) 渐近线 (10')

  1. 水平渐近线
    1. xx \to \infin
  2. 铅直渐近线
    1. limxaf(x)=\lim_{x \to a}f(x) = \infin
    2. f(a0)=f(a-0) = \infin
    3. f(a+0)=f(a+0) = \infin
  3. 斜渐近线

(三) 弧微分

  1. L: y=f(x),ds=1+f(x)2dxy = f(x), ds=\sqrt{1 + f'(x)^2}dx
  2. L: {x=ψ(t)y=ψ(t),ψ(t)2+ψ(t)2dt\begin{cases} x = \psi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}, \sqrt{\psi'(t)^2 + \psi'(t)^2}dt

(四) Taylor 中值定理

  1. x=x0x = x_0 领域
  2. n+1n + 1 阶可导

f(x)=Pn(x)+Rn(x)f(x) = P_n(x) + R_n(x)

Pn(x)P_n(x) 多项式 Rn(x)R_n(x) 余项 LagrangeLagrange型或皮亚洛型

麦克劳林公式

记 🔥

(五) 型

1. 极限

  1. 麦克劳林
  2. 洛必达法则(附)