多元微分学及应用

一、定义

(一) 极限

(二) 连续

(三) 可偏导

(四) 可(全)微

Adx+BdyAdx+Bdy

Note:

  1. A=fx(x0,y0),B=fy(x0,y0)A=fx'(x_0,y_0),B=fy'(x_0,y_0)
  2. 可偏导是可微必要条件

二、理论

  1. 连续可偏导 \Rightarrow 可微 \Rightarrow 连续 | 可偏导
    1. 证明
      1. 可微\Rightarrow连续
      2. 可微\Rightarrow可偏导
    2. 反例
      1. 连续\nRightarrow可偏导
      2. 可偏导\nRightarrow连续
  2. 连续可偏导 \Rightarrow 二阶混合偏导数相等

三、型

(一) 求偏导

1. 显函数

2. 复合函数求偏导

Note:

  1. 多元函数判断

3. 隐函数求偏导

(二) 代数应用 —— 极值

1. 无条件极值

ACB2>0AC-B^2 > 0

2. 条件极值

  1. $Lagrange
    1. λ\lambda
    2. λ\lambda
  2. 参数法