行列式

一、定义

  1. 逆序
  2. 逆序数
    1. 奇数
    2. 偶数
  3. 行列式 - D(n*n)
  4. 余子式(M)与代数余子式(A)

二、易算的行列式

  1. 上/下三角行列式、对角行列式
  2. 范德蒙行列式
  3. A00B=AC0B=A0DB=AB\begin{vmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & C \\ 0 & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & 0 \\ D & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} B \end{vmatrix}

三、性质

(一) 转换为上/下三角

  1. D=DTD=D^T
  2. 对调两行(列)行列式变为相反数
  3. 某行(列)有共因子可提
  4. 可拆分
  5. aj+kaia_j+ka_i 🔥

注(D=0)

  1. 一行(列)为 0
  2. 两行(列)相同
  3. 两行(列)成比例

(二) 降阶

  1. i=1naiAi=D\sum_{i=1}^na_iAi=D
  2. i=1naiAj=0\sum_{i=1}^na_iAj=0

四、应用

  1. *
  2. **
  3. DD1DnD D_1 D_n

(一) 定理

  1. *
    1. D0D\not ={0} 只有零解
    2. D=0D=0 除零外有无数个非零解
  2. **
    1. D0D\not ={0} 唯一解 xi=DiD(1in)x_i=\frac{D_i}{D}(1\le{i}\le{n})
    2. D=0D=0 或无解或无数解