高数笔记

1 极限与连续

1.1 极限

1.1.1 定义

1.1.2 性质

1.1.2.1 唯一性

极限唯一。

1.1.2.2 保号性

极限正,则去心邻域正;极限负,则去心邻域负。

  1. 判断极大(小)点
1.1.2.3 存在性
  1. 夹逼定理(放大缩小)
  2. ⭐ 单调有界的数列必有极限
    1. 有界 ⇔ 有上界和下界
    2. 单调

1.1.3 两个重要极限

注:当 0 < x < 𝝅/2 时,sinx < x < tanx

1.1.4 不定型

  1. 0/0 型
  2. 1/∞ 型
  3. ∞/∞ 型
  4. ∞-∞ 型

1.2 无穷小

1.2.1 定义

极限为

  1. 0 一定是无穷小,无穷小不一定为 0
  2. 函数是否为无穷小,与自变量趋向有关

1.2.2 性质

1.2.2.1 一般性质
  1. 𝜶 → 0, 𝜷 → 0 ⇒ 𝜶+𝜷 → 0, 𝜶∙𝜷 → 0, k∙𝜶 → 0
  2. 𝜶 → 0, |𝜷| ≦ M ⇒ 𝜶∙𝜷 → 0
1.2.2.2 等价性质
  1. 等价
    1. 𝜶 ~ 𝜶
    2. 𝜶 ~ 𝜷 ⇒ 𝜷 ~ 𝜶
    3. 𝜶 ~ 𝜷, 𝜷 ~ 𝜸 ⇒ 𝜶 ~ 𝜸
  2. ⭐ 𝜶 ~ 𝜶₁, 𝜷 ~ 𝜷₁, 且 lim 𝜷₁/𝜶₁ = A ⇒ lim 𝜶/𝜷 = A
1.2.2.3 x → 0
  1. x ~ sinx ~ tanx ~ arcsinx ~ arctanx ~ eˣ-1 ~ ㏑(1+x)
  2. 1-cosx ~ 1/2 x²
  3. (1+x)ª-1 ~ a∙x

1.2.3 比较

  1. 高阶无穷小
  2. 同阶无穷小
  3. 等价无穷小

2 连续与间断

2.1 定义

2.1.1 连续

2.1.2 ⭐ 间断

2.1.2.1 第一类间断点
  1. 可去间断点
  2. 跳跃间断点
2.1.2.2 第二类间断点

2.2 闭区间上连续函数的性质

  1. 最值定理
  2. 有界定理
  3. 零点定理
  4. 介值定理