二重积分

一、定义

Df(x,y)dσlimλ0i=1nf(ζiηi)Δσi \iint\limits_Df(x,y)d\sigma\triangleq\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nf(\zeta_i\eta_i)\Delta{\sigma_i}

Notes:

  1. 单位正方形
  2. 曲顶柱体
  3. 质量

二、性质

  1. D1dσ=A\iint\limits_D{1d\sigma}=A
  2. 积分中值定理 🔥
  3. 对称 🔥
    1. DD 关于 yy 轴对称
      1. f(x,y)=f(x,y),D=0f(-x,y)=-f(x,y),\iint\limits_D=0
      2. f(x,y)=f(x,y),D=2D1f(-x,y)=f(x,y),\iint\limits_D=2\iint\limits_{D_1}
    2. DD 关于 y=xy=x 对称,则 Df(x,y)dσ=Df(y,x)dσ\iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\iint\limits_Df(y,x)d\sigma

三、计算方法

(一) 直角坐标法

  1. XX
  2. YY

(二) 极坐标法

  1. 特征
    1. DD 边界含 x2+y2x^2+y^2
    2. f(x,y)f(x,y) 中含 x2+y2x^2+y^2
  2. 变换
    1. x=rcosθx=r\cos\theta
    2. y=rsinθy=r\sin\theta
    3. αθβ\alpha\leqslant\theta\leqslant\beta
    4. r1(θ)rr2(θ)r_1(\theta)\leqslant r \leqslant r_2(\theta)
  3. dσ=rdrdθd\sigma=rdrd\theta

四、型

(一) 改变次序

Note:

  1. x2ne+x2dxx^{2n}e^{^+_-x^2}dx
  2. e1xdxe^{\frac{1}{x}}dx
  3. cos1xdxsin1xdx\cos{\frac{1}{x}}dx\sin{\frac{1}{x}}dx

(二) 计算