导数与微分

一、定义

(一) 导数

  1. 等价定义
  2. 可导必连续,连续不一定可导;某点可导,极限值等于函数值
  3. 在某一点可导,左右导数存在且相等
  4. f(x)f(x)连续,且limf(x)bxa=A\lim\frac{f(x)-b}{x-a}=A。则f(a)=bf(a)=b,f(a)=Af'(a)=A

补充

  1. 求导改变函数奇偶性

(二) 可微

  1. 可导等价可微
  2. A=f(x0)A=f'(x_0)
  3. dy=df(x)=Adx=f(x)dxdy=df(x)=Adx=f'(x)dx

二、求导工具

(一) 基本公式

(二) 四则

(三) 复合

通过同阶无穷小 + 导数定义证明

(四) 反函数求导

通过同阶无穷小 + 导数定义证明

三、求导类型

(一) 显函数求导

(二) 隐函数求导

(三) 参数方程

通过同阶无穷小 + 恒等变形证明

(四) 分段函数求导

分左右

(五) 高阶导数

  1. 归纳法(记 (1ax+b)(n)=(1)nn!an(ax+b)NaN(\frac{1}{ax+b})^{(n)}=\frac{(-1)^nn!a^n}{(ax+b)^NaN})
  2. 公式法(记 (uv)(n)=(0n)unv+(1n)un1v++(nn)uvn(uv)^{(n)}=\binom{0}{n}u^{n}v+\binom{1}{n}u^{n-1}v'+···+\binom{n}{n}uv^{n})