导数与微分

一、定义

1. 导数

  1. 等价定义
  2. 可导必连续,连续不一定可导;某点可导,极限值等于函数值
  3. 在某一点可导,左右导数存在且相等
  4. f(x)f(x)连续,且limf(x)bxa=A\lim\frac{f(x)-b}{x-a}=A。则f(a)=bf(a)=b,f(a)=Af'(a)=A

补充

  1. 求导改变函数奇偶性

2. 可微

  1. 可导等价可微
  2. A=f(x0)A=f'(x_0)
  3. dy=df(x)=Adx=f(x)dxdy=df(x)=Adx=f'(x)dx

二、求导工具

(一)基本公式

(二)四则

(三)复合

通过同阶无穷小 + 导数定义证明

(四)反函数求导

通过同阶无穷小 + 导数定义证明

三、求导类型

Case 1. 显函数求导

Case 2. 隐函数求导

Case 3. 参数方程

通过同阶无穷小 + 恒等变形证明

Case 4. 分段函数求导

分左右

Case 5. 高阶导数

  1. 归纳法(记 (1ax+b)(n)=(1)nn!an(ax+b)NaN(\frac{1}{ax+b})^{(n)}=\frac{(-1)^nn!a^n}{(ax+b)^NaN}
  2. 公式法(记 (uv)(n)=(0n)unv+(1n)un1v++(nn)uvn(uv)^{(n)}=\binom{0}{n}u^{n}v+\binom{1}{n}u^{n-1}v'+···+\binom{n}{n}uv^{n}