向量

一、定义

  1. 向量
  2. 内积

Notes:

  1. (α,β)=(β,α)=αTβ=βTα(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)=\alpha^T\beta=\beta^T\alpha
  2. (α,α)=αTα=α2(\alpha,\alpha)=\alpha^T\alpha=|\alpha|^2
    1. (α,α)=0α=0(\alpha,\alpha)=0\Leftrightarrow \alpha=0
  3. (α,k1β1...ksβs)=k1(α,β1)+...+ks(α,βs)(\alpha,k_1\beta_1...k_s\beta_s)=k_1(\alpha,\beta_1)+...+k_s(\alpha,\beta_s)
  4. (α,β)=0αβ(\alpha,\beta)=0\Rightarrow\alpha\perp\beta

零向量与任何向量正交 🔥

二、理论

(一) 相关性与线性表示

1. 背景

  1. x1α1+...+xnαn=0x_1\alpha_1+...+x_n\alpha_n=0 (*)
  2. x1α1+...+xnαn=bx_1\alpha_1+...+x_n\alpha_n=b (**)

2. (*)、(**) 解情形

  1. *
    1. 只有零解
    2. 有非零解
  2. **
    1. 有解
    2. 无解

3. 定义

  1. 相关性
    1. (*) 只有零解 线性无关
    2. (*) 有非零解 线性相关
  2. 线性表示
    1. (**) 无解 不可线性表示
    2. (**) 有解 线性表示

3. 相关性性质

  1. α1,...,αn\alpha_1,...,\alpha_n 线性相关 \Rightarrow 至少一个向量可有起于向量线性表示
  2. α1,...,αn\alpha_1,...,\alpha_n 线性无关
    1. α1,...,αn,b\alpha_1,...,\alpha_n,b 线性无关 b\Leftrightarrow b 不可由 α1,...,αn\alpha_1,...,\alpha_n 线性表示
    2. α1,...,αn,b\alpha_1,...,\alpha_n,b 线性相关 b\Leftrightarrow b 可由 α1,...,αn\alpha_1,...,\alpha_n 线性表示且表示方法唯一
  3. 全组无关 \Rightarrow 部分组无关
  4. 部分组相关 \Rightarrow 全组相关
  5. n 个 n 维向量线性相关性与行列式之间的关系(行列式不等于 0 线性无关)
  6. n 个 m 维向量(n < m) \Rightarrow 线性相关
  7. 添加
    1. 添加向量个数提高相关性
    2. 添加向量维数提高无关性
  8. α1,...,αn\alpha_1,...,\alpha_n 非零且两两正交 \Rightarrow 线性无关

Notes:

  1. 含零向量的向量组线性相关
  2. α,β\alpha,\beta 线性相关 \Leftrightarrow 成比例 🔥