级数

Part 1 常数项级数

一、定义

  • 收敛
  • 发散

二、性质

  1. 加减
  2. K
  3. 添加、减少、改变有限项不改变敛散性
  4. 添括号提高收敛性
  5. Σn=1an\Sigma_{n=1}^{\infin}a_n 收敛 limnan=0\Rightarrow\lim\limits_{n\to\infin}a_n=0

三、两个重要级数

  1. P 级数 - Σn=11np\Sigma_{n=1}^{\infin}\frac{1}{n^p}
    1. P>1P>1 收敛
    2. P1P\leqslant1 发散
      1. P=1P=1 调和级数
  2. 几何级数 - Σn=1aqn(a0)\Sigma_{n=1}^{\infin}aq^n(a\not ={0})
    1. q1|q|\geqslant1 发散
    2. q<1|q|<1 收敛

四、第一类 —— 正项级数

(一) 定义

  • limnSn=+\lim\limits_{n\to\infin}S_n=+\infin - 发散
  • limnSn\lim\limits_{n\to\infin}S_n\exist - 收敛

(二) 判别法

1. 比较法
  1. 基本性质
  2. 极限性质
2. 比值法

limnan+1an=ρ\lim\limits_{n\to\infin}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho

  1. <1<1 - 收敛
  2. >1>1 - 发散
  3. =1=1 - 不用此法
3. 根值法

limnann=ρ\lim\limits_{n\to\infin}\sqrt[n]{a_n}=\rho

  1. <1<1 - 收敛
  2. >1>1 - 发散
  3. =1=1 - 不用此法

五、第二类 —— 交错级数

(一) 定义

(二) 判别法

1. Leibniz
  1. {an}\{a_n\}\darr
  2. limnan=0\lim\limits_{n\to\infin}a_n=0

六、绝对收敛与条件收敛

  1. 条件收敛
  2. 绝对收敛

Part 2 幂级数

一、定义

二、R 求法及收敛域

  1. R0R\geqslant0
    1. x<R|x|<R 绝对收敛
    2. x>R|x|>R 发散
    3. x=R|x|=R 讨论
  2. limnanxnR=1ρ\lim\limits_{n\to\infin}a_nx^n\Rightarrow R=\frac{1}{\rho}
    1. limnan+1an=ρ\lim\limits_{n\to\infin}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho
    2. limnann=ρ\lim\limits_{n\to\infin}\sqrt[n]{a_n}=\rho

三、分析性质

  1. 逐项可导性
  2. 逐项可积性

四、几大任务

(一) 函数展成幂级数

1. 直接法
2. 间接法

(二) 求幂级数的和函数 🔥